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与傲雪的一番聊天让陆兮整个下午都神思不属,好不容易捱到放学,鱼幼薇和江采薇邀她一起去校门口的小吃摊吃东西。
陆兮哪里有胃口,正好黄先发拿了一道题过来。
“陆兮,能帮忙看看这道题吗,我们组好几个人都卡住了?”
虽然暂时不想做题,但奥数敢死队的请求还是需要给予协助的,大家都是组中人,向来互相帮助。
所以神情蔫蔫的陆兮振作精神接过草稿纸扫了一眼。
“对于正整数??,如果满足??^2+??+1恒为质数,求满足这一条件的最小??值。”
这个程度的题目?
陆兮眉头微蹙,不由得抬头看了黄先发和他那些围观的小伙伴们一眼。
他们虽然围过来了,却或是左顾右盼,或是冥思苦想,或是魂游天外,或是抓耳挠腮……
反正一个个都奇奇怪怪的。
陆兮也只能当他们真的不知道怎么做这道题了,正好婉拒了吃货们的邀请。
“笔来!”
旁边同时递过来6支造型各异花里胡哨的签字笔。
陆兮秉着就近原则,顺手拿了一支最近的,在草稿纸上写下二次多项式5个字。
这种程度的题目,哪里需要什么深思熟虑。
“表达式??^2+??+1是一个关于??的二次多项式。通过计算可以发现,对于任意正整数??,此表达式总是生成奇数。因为??^2+??是偶数,加1后为奇数。”
“质数的定义要求它是大于1的整数,并且没有其他因子,除了1和自身。因此,我们需要验证??^2+??+1。”
在这里我们可以用枚举尝试。
我们逐一代入??的值,检查??^2+??+1是否为质数:
当??=1时:??^2+??+1=1^2+1+1=3,3是质数
当??=2时:??^2+??+1=2^2+2+1=7,7是质数
当??=3时,??^2+??+1=3^2+3+1=13,13是质数
当??=4时,??^2+??+1=4^2+4+1=21,21不是质数
由此可见,满足条件的最小??是??=1
在这里,我们还可以推广验证,进一步分析是否存在无限多个??使得??^2+??+1恒为质数。对于大多数??,由于??是递增的多项式,因数的增长使其很快会变成非质数,因此满足此条件的??是有限的。
所以,这道题的关键在于观察??^2+??+1的性质和逐步代入验证。
“我这样说,大家应该可以理解。”
黄先发和他的小伙伴们忙不迭点头。
“理解,理解。”
不过就在他们准备作鸟兽散的时候,忽然听到已经要走的陆兮忽然来了一句。
“对于这道基础代入解题,你们还有什么想法吗?”
不是已经得出最小??值=1了吗?
还能有什么想法?
那个想法,他正经吗?
黄先发和他的小伙伴们面面相觑。
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